Hallo, Antonia!
Ich denke, dass bei auf Nummer Sicher/sicher gehen der inhaltliche Zusammenhang zwischen Nummer und Sicher/sicher höher ist als der zwischen sicher und gehen. Den semantischen Unterschied würde ich wie folgt beschreiben:
auf N. S. gehen: nichts tun, ohne sich abzusichern
bei etwas sichergehen: dafür sorgen, dass es auf jeden Fall funktioniert
Nachzulesen ist die korrekte Schreibung z.B. im WAHRIG oder im DUDEN (unter "Nummer"). :-)
Die Schreibung auf Nummer Sicher gehen ist übrigens die alte.
Beste Grüße
Vollprofi