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Das ist die richtige Art und Weise des Vorgehens. (Singular korrekt)
Das sind die richtige Art und Weise des Vorgehens. (Plural falsch; es handelt sich nur um 1 Methode des Vorgehens, um ein und die selbe)

Vergleichen Sie:
Das ist die richtige Frau und Gemahlin.
Das sind die richtige Frau und Gemahlin.

Es geht hier nur um 1 Frau, um ein und die selbe – also "ist".

Es handelt sich bei "Art und Weise" um eine feste Wendung, um eine Paar- oder Zwillingsformel (Hendiadyoin), hier mit 2 Synonymen.

Hier ist eine Liste von solchen Wendungen:
www.heinrich-tischner.de/22-sp//////4stil/zw-form.htm

Es gibt auch Drillingsformeln (Hendiatris), welche drei Mal ein und die selbe Sache ausdrücken.
Eine feste Wendung aus 4 Elementen, die ein und die selbe Sache meinen, heisst Hendiatetris oder Hendiatetrakis.
de.m.wikipedia.org/wiki/Hendiadyoin