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> 1. "Die Idee einen Verein zu eröffnen und eine Puppenschule
> ins Leben zu rufen, ...." Kommt hier zwischen
> "Idee" und "einen" ein Komma?

Ja.

> 2. Wenn es darum geht, dass "einer Frau eine Gabe
> zuteilwurde" ist zuteilwurde getrennt oder
> zusammengeschrieben?

Zusammen.

> 3. dem Jungen gelang es, sozial aufzusteigen. Stimmt das Komma
> zwischen "es" und "sozial"?

Ja.

> 4. "Ihr ging es nicht gut, auch wenn sie von ihrer Mutter
> Lesen lernte." Schreibt man hier "Lesen" klein
> oder groß?

Beides möglich, groß ist besser, am besten noch einen bestimmten Artikel einfügen.

> 5. "Das Kind ist ein viertel Jahr alt." Heißt es
> "Vierteljahr", "viertel Jahr" oder
> "Viertel Jahr"?

Vierteljahr ist auf jeden Fall korrekt.

> 6. "Die junge Mutter ist sehr tüchtig. Als 32-jährige hat
> sie bereits fünf Kinder zu versorgen." Wird hier 32-jährige
> groß oder kleingeschrieben?

Als 32-Jährige ...
(Kleinschreibung wäre ebenfalls denkbar.)

> 7. heißt es "samt weißeM Gürtel" oder "samt
> weißeN Gürtel"?

samt = Präp. m. Dat.