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> Wegen dem schlechten Wetter müssen wir heute zu Hause bleiben.

Ja

Anmerkung: Der Duden bezeichnet „zu Hause“ als „Adverb“:

https://www.duden.de/rechtschreibung/zu_Hause

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Adverbiale_Bestimmung#Adverbial_und_Adverb

Ja

Nein (siehe auch obige Anmerkung)

Wegen standardsprachlich mit Genitiv:

Wegen des schlechten Wetters* müssen wir heute zu Hause bleiben.

*
https://www.duden.de/rechtschreibung/wegen_infolge_bezueglich#bedeutungen

Nur umgangssprachlich mit Dativ.

Whttps://www.duden.de/rechtschreibung/wegen_infolge_bezueglich

Gruß

Pumene