Als Eigennamen werden diese Rassenbezeichnungen offensichtlich ohne Bindestrich geschrieben (auch wenn es im Deutschen komisch aussieht). Bei Zusammensetzungen mit anderen Wörtern müssen aber grundsätzlich überall Bindestriche gesetzt werden. Eine Kopplung mit nur einem Bindestrich gibt es im Deutschen nicht. Also "Jack-Russell-Terrier-Mischling".
Beste Grüße
Patrick