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> Weder noch.

> Richtig: Zeichen kölnischer Gastfreundschaft

Duden kennt nur das Kölsch (als Substantiv):
www.duden.de/rechtschreibung/Koelsch_Bier_Dialekt

Diese Seite kennt kölsch auch als Adjektiv:
www.korrekturen.de/flexion/adjektive/k%C3%B6lsch

Ebenso Wikipedia:

In den Ripuarian Dialekten, “kölsch” ist ein Adjektiv mit der Bedeutung “aus Köln” oder “aus Köln”, also äquivalent zu “Köln”.

Quelle: https://wiki.edu.vn/wiki9/2020/12/13/koln-wikipedia

Die Formulierung Zeichen kölscher Gastfreundschaft gehört eher der gesprochenen Alltagssprache* an, in der man Wörter oft stark vereinfacht oder verkürzt.

* https://de.m.wiktionary.org/wiki/k%C3%B6lsch
Siehe dazu den Hinweis im Unterpunkt: Bedeutungen