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> Ja, so gedacht wird mir der Unterschied klar! Also wäre dann
> aber auch "zuhause" richtig?

Ja. Insofern ist die Quizfrage etwas gemein, weil diese Antwortmöglichkeit einfach weggelassen wird. Die Schreibweise "zuhause" gilt hierzulande auch erst seit 2006 als richtig, Duden und Wahrig empfehlen aber einstimmig "zu Hause".

Siehe auch hier:
http://www.korrekturen.de/wortliste/zuhause.shtml

Grüße
Julian