> Beim ersten Beispiel ging es mir allerdings um
> "DABEI". Vielleicht weiß das noch jemand?
Sie handelten dabei (bei dieser Tätigkeit) äußerst vorsichtig.
„dabei“ ist ein Pronominaladverb, auch Präpositionaladverb genannt.
Mehr zu diesem Thema unter:
• https://deutsch-mit-anna.de/grammatik/adjektive/praepositionaladverbien
• www.duden.de/rechtschreibung/dabei
• www.duden.de/sprachwissen/sprachratgeber/Pronominaladverbien