Forum > Rechtschreibforum

Kelley L. Ross meint, dass die Zahl i zwar nützlich ist, aber nicht existiert. 😳 Ich sehe das anders, bin bei der Gelegenheit aber auf einen Gedanken gekommen: Aus der linguistischen Perspektive des Gebrauchs vor einem Nomen verhalten sich positive nichtganze Zahlen etwas besser als negative ganze, wenngleich es mathematisch naheliegt, von den natürlichen auf die ganzen Zahlen zu erweitern und von den ganzen auf die rationalen, da Addition quasi grundlegender als Multiplikation ist. Die Phrase «zwei Äpfel» steht ganz erwartungsgemäß für nichts als Äpfel, wobei «zwei» angibt, wie viele. Aber:

1) Bei «0,5 Äpfel» werden nicht einfach nur Äpfel gezählt, sondern es geht um Teile von Äpfeln. Aber wenigstens impliziert «Er aß 0,5 Äpfel» immer noch, dass die Person etwas aß.

2) Mit nichtpositiven Zahlen geht noch mehr verloren. Eine Erhöhung um −2 Äpfel ist überhaupt keine Erhöhung, sondern eine Verringerung um 2 Äpfel.

3) Die Zahl i (Quadratwurzel aus −1) ist in direkter Kombination mit einem Wort wie «Äpfel» nicht einmal sehr naheliegend. (Und während komplexe Zahlen in ein zweidimensionales Koordinatensystem eingezeichnet werden können, ist das bloß eine Konvention, eine Ortsänderung wird normalerweise mit einem euklidischen Vektor statt einer komplexen Zahl (wenn es nicht bereits eine reelle ist) beschrieben.)

Wie steht es eigentlich um Unendliches, warum formulierte Euklid «Die Primzahlen sind mehr als jede vorgegebene Menge von Primzahlen» statt einfach «Es gibt unendlich viele Primzahlen»? Ich bezweifle, dass der Verzicht auf die zweite Variante darin begründet liegt, dass er aktuale (statt nur potentielle) Unendlichkeit vermeiden wollte. Erstens gebrauchte Euklid an anderer Stelle durchaus das Wort ἄπειρον. Dass er ausgerechnet bei der Unendlichkeit der Primzahlen darauf verzichtete, mag damit zu tun haben, dass es zur Form seines Beweises passt. Zweitens geht es in dem Satz immer noch um die Primzahlen, also all die Primzahlen in ihrer Gesamtheit. Und es heißt nicht, dass es nur endlich viele sind, aber immer mehr werden können, sondern es gibt (schon jetzt) mehr als jede (endliche) Anzahl, was auf aktuale Unendlichkeit hinausläuft. Dass ἄπειρον einer Zahl entspricht, braucht Euklid ja nicht zu vertreten.

Überhaupt würde ich vor einer Überinterpretation historischer Aussagen zu dem Thema aufpassen, denn die Leute gingen nicht unbedingt so weit, auch die Existenz unendlich vieler (endlicher) Zahlen zu verneinen (die ja nur abstrakte mathematische Objekte sind und als Möglichkeiten unabhängig von räumlicher Realisierung angesehen werden können), sondern hatten da unter Umständen Größen oder geometrische Figuren im Sinn, vgl. Rosen (2021). Mit Cantors Mengenlehre hat sich überhaupt erst gezeigt, dass manche Theoreme über reelle Zahlen nicht finitistisch reduzierbar oder prädikativ beweisbar sind, und oberflächlich können zwar Parallelen zwischen der Kontroverse um Cantor und dem griechischen horror infiniti gezogen werden – aber auf Aussagen vor der Zeit von Cantor zu stoßen, aus denen (bei Akzeptanz beliebiger natürlicher Zahlen) wirklich ein finitistischer Reduktionismus oder Prädikativismus abgeleitet werden kann, stelle ich mir schwierig vor.

Ross hat mir (bis jetzt) nicht geantwortet, hier ein Auszug (englisch) aus meiner Entgegnung auf vier seiner Argumente in redigierter und gekürzter Form:

Here is the thing: While these linguistic quirks are real, the numbers themselves do not depend on how nice their use before nouns works out. In mathematical formulas, you do not even have to deal with the use of numerals before nouns at all. What matters is that the theory does not entail any contradiction. You might try to come up with a criterion which is something like: Mathematical objects are real if there is an immediate enough connection to physical objects. But I do not see much point in this because you would be judging such objects by a standard that they are not supposed to fulfill, so why not leave that baggage out? I can say that there is no such thing as 5i cows, without claiming that 5i itself does not exist (because 5i is not supposed to be counting objects). After all, we can also talk about mathematical objects that are not called “numbers” at all, such as matrices and graphs – are they real? (What are your criteria?) If so, why not i as well? What if we used the terms “pseudonumber” and “pseudoroot” instead?

One (I guess archaic) way to think about the matter is to operate strictly within the field of real numbers and then correctly conclude that −1 does not have a square root even though we can still get correct results if we act as if there existed one in a certain controlled manner. But another way is to introduce the field of complex numbers as a different structure where different rules (that do not entail any contradiction) apply. Whether the expression “square root of −1” has a referent depends on the meaning, and we can mean different things depending on which structure we are talking about. It’s like American vs. Russian checkers – both are games that can be played, what sense does it make to declare only one of them as “real”? When no structure is explicitly mentioned, there is sometimes an established default – e.g., “11 + 2” usually refers to a number that is different from 1, but you can also consider clock arithmetic where “11 + 2 = 1” holds. This does not make clock arithmetic less real, it is just not assumed by default. Likewise, “integers” is usually about the rational integers (…, −2, −1, 0, 1, 2, …), but you can also consider Gaussian integers and Gaussian primes – not unreal, just not the default for “integers”.

Regarding the incompleteness theorem, the complex numbers can still be characterized by axioms such that it can be proven that (set-theoretic) models of these axioms exist and that all such models are isomorphic.

As to the argument that the expression “√−1” cannot be resolved, the question is what kind of expression you want to resolve it to and why that should be the benchmark for an actual object. When dealing with a proper fraction such as 5/10, we might want to get something where the GCD of the numerator and denominator is not greater than 1 – thus, “1/2”. (Or maybe you want it in decimal – “0.5”, which basically means as much as “5/10”.) We would regard that as a normal form that does not need any further resolution. But likewise, we can simply regard “i” or “√−1” as a normal form. Why do you accept the use of a fraction slash or a point, but not a root sign? As to the argument that “i” is just an alternative to “√−1” and does not illuminate anything, well, “2” is just an alternative to “1 + 1” (or the like), nevertheless, we regard “2” as a normal form. You might respond that you want it to resolve to a real number, but then we are just back to the question why you do not regard non-real complex numbers as actual objects.

Regarding the square root of 1/−1, there is no contradiction, it’s just that some rules such as “√(a/b) = (√a)/(√b)” hold for positive numbers but do not hold for all complex numbers, just like “if a < b then 1/a > 1/b” holds for positive numbers but not all integers. The number 4 has two square roots (−2 and 2), and by convention, we regard the nonnegative one (2) as the principal value, calling it “the square root of 4”. 1/−1 equals −1, of which there are two square roots in the field of complex numbers, namely i and −i. As to the principal value, I guess there is no universally accepted definition for complex numbers in general, but specifically in the case of “√−1”, if this notation is accepted at all, it is probably referring to i.