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> heißt es:
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trotz mehrmaligem Ermuntern haben ich....
>

trotz mehrmaligen Ermunterns....

Beide Möglichkeiten sind mittlerweile korrekt. Grundsätzlich folgt der Präposition trotz der Genitiv wie im zweiten Satz. Der Duden weist aber darauf hin, dass der Dativ immer häufiger benutzt wird, wenn Artikel oder Pronomen fehlen (wie bei den Sätzen oben). Beispiel: Trotz heftigem Regen

Gruß von Kai