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> Heisst es "aufrechthielten" oder " aufrecht
> hielten"
> z.b das Sie den Vertrag aufrechthielten / aufrecht hielten.

Zunächst heißt es "heißt es" und "dass Sie" (Anrede) bzw. "dass sie" (3. Person Plural). :-)

Das Verb, was Du suchst, lautet "aufrechterhalten" und wird zusammengeschrieben:
... dass Sie den Vertrag aufrechterhielten.
... um den Vertrag aufrechtzuerhalten.

Aber: ... sie erhielten den Vertrag aufrecht.

> Das Wort kommt ja von Aufrechthalten...

Nein, umgekehrt, "Aufrechterhalten" oder "Aufrechterhaltung" sind Substantivierungen von "aufrechterhalten".

Grüße
Julian