Ich würde es getrennt schreiben, wenn ich zum Beispiel sage: "Ich kann das Problem zwar nicht lösen, aber ich werde es [neben meinen anderen Aufgaben, die ich zu tun habe] mit verfolgen."
Hier betone ich das Wort "verfolgen": mit verfolgen, nicht mitverfolgen. Aber ich sage ja, das ist nach meinem Sprachempfinden so.