> Aus meiner Sicht ist hier überall die Zusammenschreibung korrekt.
> Liege ich da richtig?
Goldrichtig. Wörtchen wie "beim" (= bei dem) oder "zum" (= zu dem) deuten eigentlich schon sehr zuverlässig auf eine nachfolgende Substantivierung hin, und die schreibt man zusammen und groß.
Gruß
Julian