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> Ich könnte fragen "Was soll sie nicht werden?";
> Antwort: "misstrauisch". Das wäre dann ein
> Akkusativobjekt. Aber dass sind doch immer Nomen, oder?

Beide Annahmen sind falsch. Nach dem Akkusativobjekt musst du mit "Wen oder was?" fragen - im Doppelpack. Und als Antwort bekommst du dann nicht das Satzglied "misstrauisch".
Akkusativobjekte sind nicht immer Nomen. "Wir sahen ihn am Bahnhof": Hier ist das Akkusativobjekt ein Pronomen.

> Man kann auch fragen "Wie soll sie nicht werden?";
> Antwort: "misstrauisch". Dann ist es eine adverbiale
> Bestimmung der Art und Weise.

Diese Annahme ist die einzig richtige.

Gruß von Kai