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"Jemandem etwas in Rechnung stellen" - das ist auf jeden Fall korrekt.

"Jemandem eine Rechnung stellen" - das liest man auch oft. Ob das richtig ist, darüber kann man sich streiten.

> dass die Firma damit dem Kunden die Leistungen in Rechnung
> stellen könnte

Das ist von der Logik her falsch. Die Rechnung wird "auf der Basis" der Arbeits- und Materialzettel erstellt, aber nicht "damit". Vermutlich wird sie mit einem Computer erstellt. ;-)

Und: Vielleicht müsste es "kann" statt "könnte" heißen?

> dass die Firma dem Kunden eine Rechnung ausstellen könnte.

Das ist von der Logik her falsch. Natürlich kann die Firma in jedem Fall eine Rechnung ausstellen, ganz gleich wie Arbeits- und Materialzettel aussehen.

MfG
Rolf Keller