Beide Sätze haben ein Akkusativobjekt:
Er hatte versprochen den Briefkasten zu leeren.
Er > Subjekt
hatte versprochen > Prädikat
den Briefkasten zu leeren. > Akkusativobjekt (Wen oder was?)
Ich weiß nicht, was ich anfangen soll.
Ich > Subjekt
weiß nicht, > Prädikat
was ich anfangen soll. > Akkusativobjekt (als Nebensatz mit Komma)